[关键词]数学本质思考主动建构
一堂高效的数学课教学必须呈现“数学本质”。对于“数学本质”本身不同的理解有不同的视角，我们在课堂中要追求的“数学本质”其内涵包括：数学知识的内在联系；数学规律的形成过程；数学思想方法的提炼；数学理性精神的体验等方面。
基于对“数学本质”内涵的认识，要在课堂中呈现“数学本质”，提高初中数学课堂效果，应从以下几个方面下功夫。
一、教师要深透领悟教材内容
教师对教材的领悟必须有自己的眼光，目光要深邃，看到的不能只是文字、图表和各种数学公式定理，而应是书中跳跃着的真实而鲜活的思想。这种思想就是对“数学本质”的认识，这种思想就是“不在书里，就在书里”，这种思想能让所有教材内容融入到教师的思维中，成为教学的能力源泉。“一个能思想的人，才是一个力量无边的人。”
例1：若E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，说明四边形EFGH是平行四边形的理由。这是初中数学中很典型的一道题目，连接AC，利用三角形的中位线定理，很容易证明。对此我们可以进一步思考，适当地替换它的条件，再考察它的结论的变化情况。
思考1：如果把条件中的四边形ABCD依次改变为矩形、菱形、正方形或梯形、等腰梯形，其它条件不变，那么所得的四边形EFGH是怎样的四边形呢？
思考2：如果把结论中的平行四边形EFGH依次改变为矩形、菱形或正方形，那么原四边形ABCD应具备什么条件呢？
面对这么多的变化，学生肯定头疼，如果抓住了四边形ABCD的对角线是相等，还是垂直，还是既相等又垂直，还是既不相等又不垂直这一本质特征，那么这类问题就都可迎刃而解，学生掌握起来容易也乐于掌握。通过这类题目的解答，让学生领悟：数学问题千变万化，而其中的方法是相通的。学习数学重在掌握这种具有普遍意义，能反映数学本质的知识。注重问题间的类比，使解题总结成为自觉的行动，这样可以达到举一反三、由例及类，解一题通一片的目的。
二、教师要真正做到把数学知识“返璞归真”
对许多初中学生来说，数学是一个又一个公式、符号、定理、习题的堆积，它们是如此的抽象、散乱、遥远、不可琢磨。数学本来是这样，还是我们的数学教学的原因？翻看人类的数学思想史，在数学“冰冷的逻辑推理之中有一大堆生动的故事”，其“冰冷美丽”的外表下存在着“朴素而火热的思考”。数学教师的教学，就应拉近数学与学生的距离，让学生感受到它的火热，享受数学中生动的故事。恢复为当初数学家发明创新时的火热思考，做到返璞归真。
让我们来看一段函数增减性的教学：
教师：现在最让中国人骄傲的篮球运动员是谁？
学生：姚明。
教师：你们知道姚明的身高是多少？
学生：2.26米。
教师：姚明一出生就是2.26米吗？
众学生：不是。（教师用多媒体展示姚明部分年龄段身高的直方图）
教师：我们以姚明的年龄为自变量，姚明的身高为函数值建立一个函数关系，能否得到以下结论-----姚明身高随年龄增加而增高？
学生有的说对，有的说不对，教师不急于揭示答案，而是把学习的目标引向了函数关系中两个变量变化大小的相互依赖关系上。学生所熟悉的生活实例既是激发学生学习兴趣的手段，也是学生理解函数增减性的现实背景。
接下来，教师让学生观察函数y=x2（x≥0）图像的x值与y值的动态变化效果，得出如下结论：
（1）函数的图像向坐标系右上方延伸；
（2）随x取值的增大，y的值越来越大。
这时，教师可以总结：这种随x的增大，y也随之增大的现象称为y随x的增大而增大。类似地，在学生观察了函数y=x2（x≤0）图像的动态效果后，得出这种随x的增大，y越来越小的现象称为y随x的增大而减小。
通过一个生活背景的实例和对函数y=x2图像的直观观察，产生了函数增减性的生活语言的描述，使学生理解到的是两个变量之间具有依赖性的增减关系。这是函数增减性中最为基本和初始的思想，是根本性的要素，也是从生活中原初思想迈向数学知识的关键一步。
三、教师要尊重学生接受知识的已有基础本质
教师应该以学生现有思维发展水平为依据，关注学生已有的知识和经验，选择与学生发展水平相适应的学习材料，为学生设置恰当的教学情境，使学生对新知识进行充分的思维加工，通过新知识与已有认知结构之间的相互作用，使新知识同化到已有认知结构中去，达到对新知识的相应理解和主动建构。
本文以一节二次函数的图象应用为课题，从数学知识的切入、学习方法的渗透和学习信心的树立等几方面，探讨初高中衔接教学中，如何同时兼顾知识和能力的衔接，自主学习、自主探究的意识和能力的培养，如何帮助学生迈好由初中数学通往高中数学的脚步.
一、课堂教学过程实录
（一）课堂导入
1.课堂导言
特别强调高中数学内容的范围更宽泛和深入，对分析问题、解决问题的能力以及思维品质的要求更高，我们学习的方法也与初中阶段不太相同，更多地需要我们学会独立思考，学会归纳推理，学会触类旁通.
2.课题导入
先请同学看2014年杭州市中考数学压轴题：已知关于x的二次函数y=2kx2-（4k+1）x-k+1（k是实数）.以下有四条结论：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x>1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数.判断以上四条结论的真假，并给出理由.请同学们完成以下任务：①独立完成解答；②以四人小组为单位归纳出二次函数的图象及性质，用表格的形式呈现研究成果.
【流程设计】学生代表根据事先研究结果发言，学生往往能给出答案及过程，但要归纳出性质需要老师的引导.如老师可以引导学生：函数图象与坐标轴的交点个数取决于什么？函数值随自变量的变化而变化的情况取决于什么？函数取最大值还是最小值取决于什么？最大值与最小值又是多少？
【设计说明】通过该组题目让学生复习回顾初中二次函数的知识.因为学生是保送生，未参加中考，以当年中考题作为本课的引入，从而复习回顾二次函数的各种性质，对学生有很强的吸引力，能充分调动学生的积极性.
3.知识整理
通过师生共同的努力，归纳出初中学过的二次函数的图象及性质.
（二）课题深入
那函数的单调性概念是如何由直观走向抽象的，它的本质又到底是什么呢？下面我们从四个思维递进层次用欣赏的眼光看单调，并对函数单调性的概念进行剖析，以期达到理顺逻辑关系，突破教学难点的目的.
一、形上直观看单调
从函数的图像入手研究单调性，比较直观，很容易被感知.图形化的“单调性”，可以理解为：函数图像“从左到右”所呈现出动态的“升”“降”.
如：让学生观察某市某一天的气温变化图，可以直观感受到图像在某些时段温度升高或降低，即变化趋势，再通过观察y=x，y=x2，y=1[]x等函数的图像，不难总结出单调性体现在形上包括三个方面：一是动态化的（即所谓的“升”或“降”），二是有方向性的（即所谓“从左到右”，“x增大的方向”），三是局部化的（即所谓“一段一段”）.
由此，我们不难得到函数单调性的直观描述性定义：设函数f（x）的定义域为I，区间DI；如果在区间D上函数值y随着自变量x的增大而增大（减小），那么就说函数f（x）在区间D上是增（减）函数.
尽管这种定义不严格，但学生初步理解到的是两个变量之间具有依赖性的增减关系，这是函数单调性中最为基本和初始的思想，这是根本性的要素，也是从图形中原初思想迈向数学概念的关键性的第一步.
二、无限离散型函数的单调性
由函数单调性的直观描述定义我们易知：对一个函数，若定义域是有限集合，那么就可以把自变量x一个都不少的由小到大排列起来，看所有函数值y是否不断增加或减少即可.正因为是有限集合上的函数，我们可以一个个的比较和判断，这是没有什么难度的.
但当函数的定义域是无限集的情形，单调性又该如何表述呢？我们可以先以无限数列为研究对象，该如何表示其单调性呢？无限数列的本质是一类无限离散型的函数，若一个一个排，永远排不完，没有尽头.但由于数列是离散的，因此我们可以用n∈N*表示“每一个”，用n和n+1表示前项和后项，这样就涵盖了数列的各项，可以完成对数列单调性的描述.于是我们可以用数学语言对其定义如下：数列{an}成为是单调递增（减）数列，是指对于每一个n∈N*，都有an+1>an（an+1
三、在连续数集上的单调性
定义在连续数集上的函数，我们无法一一枚举，也无法如数列一般分出先后，比较前后两项.于是，我们再进一步定义：
对于区间D上任意两个自变量，当x1
对于这里的任意二字，很多学生会觉得较抽象，其实这一描述也是与形上的“处处”二字、数列中的“每一个”相对应的.若对于区间D=[a，b]这一无限连续集合，由于在“形”上，单调上升体现为在区间D上处处上升，一点也不能少；对单调性在“数”上的刻画，对于一个无限集合，我们自然无法一个个检验，也没有相邻两项可以检验，于是只能任取两个值做检验.即无论取哪两个自变量值x1，x2，只要x1
四、从推广联系上谈单调
经过三次思维递进后，我们得到了函数单调性的数学语言描述，但当我们利用其判断函数的单调性时，还经常出现其一些变形形式，如：（1）乘积式：对于区间D上任意两个自变量x1≠x2，若（x2-x1）f（x2）-f（x1）>0（
若f（x2）-f（x1）x2-x1>0（
函数单调性的比例式表达与定义异曲同工，但f（x2）-f（x1）x2-x1可以表示平均变化率，从“形”的角度又可用来表示函数图像上连接（x1，f（x1）），（x2，f（x2））这两点线段的斜率，即割线的斜率.
若我们把两个任意点中的一个点看成另外一个点的变量，即f（x2）-f（x1）变成f（x+Δx）-f（x），而x2-x1变成了Δx，于是此比例式可化为：f（x+Δx）-f（x）Δx，若Δx无限小，导数的概念便产生了，由此把单调性和导数联系了起来：在某个区间（a，b）内，若
f′（x）>0，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f′（x）
正文：在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于受到初中学生的认知水平和认知能力的限制，这部分内容的学习多是机械的、孤立的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对函数的基本概念和基本性质灵活应用，这就还需要对二次函数的知识进行再学习。
一、进一步深入理解函数概念
初中阶段已经讲述了函数的定义，但是以运动的观点来对函数进行的定义。进入高中后，在学习集合的基础上接着重新学习函数概念，主要是用集合观点来阐明函数，这时才真正刺入了函数的实质，为了让学生能够更好的理解函数的概念，以二次函数为例来加以认识无疑是很好的选择。
二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射?：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为?（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识。可参看如下题型。
类型1：已知函数?（x）的定义域为区间（0，1），求函数?（x+1）的定义域
这里决不能把x+1理解为自变量x自身加1，而应该把x+1看做一个整体，让他取到（0，1）的范围，从而得到x的范围。
类型2：设?（x+1）=x2-4x+1，求?（x）
这里已知对应法则?下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。
一般使用变量代换的方法：它的适用范围比较广。
令t=x+1，则x=t-1（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6从而?（x）=x2-6x+6
二、在解决函数单调性，最值与图象等问题中二次函数的应用。。
在高中阶阶段，函数的单调性不再像初中一样只停留在图像的趋势y随x的增大而增大（减小）上，而是对函数在每一个区间上的增减性进行应用。要让学生达到这种程度，必须对二次函数y=ax2+bx+c在定义域区间上的单调性进行彻底理解，以达到对所有函数的单调性的真正把握
类型3：求函数y=x2+3x+2在区间（1，3）上的最小值。
这里要绝对禁止学生直接把区间的两端点代入，求职，比较的错误思想。
类型4：讨论函数y=x3+ax2+ax+3的单调性
这里是讨论函数单调性的问题，其实在函数求导数以后成为二次函数根的分布问题
类型5：设?（x）=x2-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t）。
求：g（t）并画出y=g（t）的图象
解：?（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1时取最小值-2
当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2
当t>1时，g（t）=?（t）=t2-2t-1
当t
t2-2，（t
g（t）=-2，（0≤t≤1）
t2-2t-1，（t>1）
关键词：高中数学；函数单调性；解题方法
一、函数单调性的定义
1.高中数学教材中函数单调性的定义
二、函数单调性的解题方法
函数的研究方法有很多种，一般主要采用定义研究法、导数研究法、图象研究法、复合函数研究法等对高中数学函数单调性进行研究。本文结合具体内容和例子说明了以上四种方法的应用特点，旨在为函数的研究提供更好的依据。
1.定义研究
根据对函数单调性的研究与分析，首先，需要在单调区间内设定x1与x2两个值，其次，要对f（x1）与f（x2）进行比较，最后，通过区间的标注作出结论，判断函数的单调性。
2.导数研究
运用导数的知识可以很好地研究有关函数单调性的问题。假设f（x）在区间A内可导，当f'（x）=0，那么f（x）是常函数。当f'（x）>0，f（x）为增函数；当f'（x）<0，f（x）为减函数；同理可知，当f（x）在区间A内可导，f（x）在A上是减函数，必有f'（x）≤0。假如f（x）在区间A内可导，f（x）在A上是增函数，必定有f'（x）≥0。当我们遇到上述这类题型时，可以先采取求出其导数的方法，根据得出的导数就能够很好地研究单调性了。
3.复合函数研究
复合函数中的复合法则可以满足函数单调性的求解需求，具体的复合函数可以分为外函数与内函数两种。如果内、外函数的单调性相反，则为减函数，反之，则为增函数。
4.图象研究
学生可以利用函数基本图象，通过对图象的分析来研究函数的单调性，同时，函数图象的对称特点也能够为研究起到一定帮助，由两个函数的对称性来研究其单调性是非常有效的一个方法，需要学生加强对基础知识的掌握。
三、总结
在高中数学函数研究中，单调性是考查的一个重要内容。函数是学习数学时不能忽略的重要部分，并且很多的章节都涉及函数单调性的相关内容，如方程求解、不等式恒成立等问题。要想学好数学，就需要加强对函数单调性的解题方法研究，为数学的学习打好基础。
参考文献：
[1]孙全连.关于优秀生和普通生解决函数基本问题策略的比较[D].上海：华东师范大学，2006.
[2]朱雁萍.职高学生“指数函数与对数函数”学习中的认知错误分析及教学对策研究[D].上海：上海师范大学，2013.
[3]魏启萌.高一教师解决初高中数学教学衔接问题的案例分析[D].天津：天津师范大学，2014.
【关键词】-次函数图像性质研究
1、一次函数图像
在实际教学过程中，我们可以通过描点法，将-次函数典型图像画出来，然后引导学生对-次函数图像性质进行归纳，即直线规律；然后，通过“两点确定-线”这-规律，得出快速画出-次函数图像的方法。通常情况下，我们可以取（0，b）、（，0），然后通过这两个点，快速画出-次函数的图像。
通过对以上四个一次函数图像对比观察可以看出，从左至右，一次函数y=2x-1和一次函数y=x+2图像成上升趋势，这说明随着自变量不断增大，其函数值会逐渐增大，即一次函数y=2x-1和一次函数y=x+2值，随着自变量x的不断增大而增大；然而，对于一次函数y=-2x+3和一次函数y=-x-2而言，其图像呈逐渐下降的趋势，这说明随着自变量x的不断增大，一次函数y=-2x+3和一次函数y=-x-2的函数值会逐渐变小。由此可以归纳出一次函数的图像性质，即一次函数（设为y=kx+b，其中k、b均为常数，而且均不等于0），当其中的常数k大于0时，函数y就随着自变量x的不断增大而增大，表现在函数图像上，即呈上升趋势；当常数k小于0时，函数y就会随着自变量x的不断增大而减小，表现在函数图像上，即呈下降趋势。
对于图形绘画而言，其主要包括3个主要步骤：第一，列表。通过列表的形式，将函数与自变量的对应数值一一列出来；第二，描点。通常情况下，取其中的两个具体的点，然后根据“两点确定-条直线”这一规律，即成为“两点法”。y=kx+b（k≠0）一次函数图象过（0，b）、（，0）两点画直线，就能得到一次函数图像。对于正比例函数而言，y=kx（k≠0）图象即过坐标原点画一条直线，取（0，0）、（1，k）两点。第三，连线。通过将上述所标示的两个点连接在一起，可得一次函数图象，即可获得一条一次函数直线。由此可见，绘画一次函数图象时，只需确定两个点即可，将其连成一条直线就能得到一个一次函数图像。（通常情况下，找出一次函数图象、x与y轴之间的交点，即为，0）。
在一次函数图像上的任意一个点，比如A（x，y），其可满足y=kx+b（k≠0）。一次函数与纵轴之间的交点坐标为（0，b），与横轴的交点为（，0），其中正比例函数的图像，均过原点。从本质上来讲，函数并非数，实际上它是某一变化过程中的两变量关系。从图像所处的象限来看，k，b与y图像所在象限分析如下：当y=kx时，b取0，则函数y与自变量x之间成正比例关系；当k大于0时，函数直线图像一定会经过第一和第三象限，这时函数y会随着自变量x的不断增大而增大；当k小于0时，函数直线一定会经过第二和第四象限，这时函数y随着自变量x的不断增大而减小。进一步拓展可得：当y=kx+b时：k大于0、b大于0，函数图象经第一、第二和第三象限；k大于0、b小于0时，函数图象经第一、第三和第四象限；k小于0、b大于0时，函数图象经第一、第二和第四象限；k小于0、b小于0时，函数图象经第二、第三和第四象限。
2、一次函数性质
对于一次函数而言，函数y的数值总是与变化值x成正比例关系，二者的比值为k，公式表示为y=kx+b（其中k，b为常数）。当变量x为0时，b为函数在纵轴上的点，其坐标为（0，b）；当b=0时，y=kx，一次函数变为正比例函数（正比例函数为特殊的一次函数）。在不同的一次函数表达式中：当一次函数表达式k、b相同时，则两个一次函数重合；当两个一次函数表达式k相同，而b存在差异时，两个一次函数平行；当两个一次函数表达式k、b均不相同时，两个一次函数相交；当两个一次函数表达式k不同、b一样时，两个一次函数交于纵轴上的同一个点，即（0，b）。
一次函数中的自变量x与变量y之间的关系式为：y=kx+b（其中k、b分别为常数，而且k不等于0），此时称y是x的一次函数。当x=0时，b为函数在y轴上的，坐标为（0，b）；当y=0时，该函数图像在x轴上的交点坐标为（，0）；k为-次函数y=kx+b的斜率，k=tanθ（其中，角θ为一次函数与横轴之间的正方向夹角，不等90°）
3、一次函数教学中的难点突破
具体教学过程中，如何快速画出函数大致图像，成为一个重点问题。一次函数经过哪些象限，不要死记硬背，只需掌握函数图像性质即可快速画出草图，确定其大致位置。比如，已知某一次函数y=-kx+b（k0），该函数图像不经哪个象限？因为函数y=-kx+b与纵轴之间的交点为（0，b），其中b>0，所以交点在纵轴正半轴上；因为k0，即随增大而增大，即从左向右往上画，得出草图如下：
结语
总而言之，一次函数是函数学习的基础，其图像与性质对于部分学生而言显得非常的陌生和混乱，作为老师，我们应当引导学生，慢慢地理清楚其中的关系，用最简单的方法帮助学生了解和掌握一次函数的图像和性质。
参考文献
[1]强世飞.关于-次函数教学的几点策略探究[J]中小学数学：初中版，2014（04）.
